徒然メモ

日々のぼんやりした考えをそのまま書き綴ります。

2024-09-07 2024-09-11

統計メモ平均・分散関係の統計量

数学

素人による統計量のメモです。以下では標本は数値で表されるものとします。

$\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{x_i}=\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}$

標本平均。
標本の総和を標本サイズで割った数。
統計学的に特殊な性質（不偏性、一致性）を持つため、パラメトリック検定でよく使われる。

$\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{f(x_i)}=\frac{f(x_1)+f(x_2)+...+f(x_n)}{n}$

標本 $(f(x_i))$ の平均。
平均という表現には違和感が残るが、標本 $(x_i)$ の全要素に $f(x)$ を適用した標本 $(f(x_1), f(x_2), ..., f(x_n))$ の標本サイズは元の標本と同じ $n$ なので、確かにこの標本の平均。
標本平均と共に「～平均」「平均～」という言葉で参照される。

$\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{x_i^{2}}=\frac{{x_1}^2+{x_2}^2+...+{x_n}^2}{n}$

平均標本平方和。
上で $f(x_i)={x_i}^{2}$ としたもの。

$\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{f(x_i)^{2}}=\frac{f(x_1)^{2}+f(x_2)^{2}+...+f(x_n)^{2}}{n}$

$f(x)^{2}$ の平均平方和。
上で $f(x_i)=f(x_i)^{2}$ としたもの。

$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{(x_i-\overline x)}=\frac{(x_1-\overline x)+(x_2-\overline x)+...+(x_n-\overline x)}{n}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}{x_i}-\overline x$

偏差和（平均値の偏差和）。
標本と標本平均の差の総和。
符号は任意。

$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{(x_i-\overline x)^{2}}$

偏差平方和（平均値の偏差平方和）。
標本と標本平均の差（偏差）の平方の総和。
標本標準偏差の計算式に含まれる。
符号は無または正。

$\displaystyle \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}{(x_i-\overline x)}^{2}}$

標本標準偏差。
平均偏差平方和の平方根。
標本分散の平方根。

$\displaystyle \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}{(x_i-\overline x)}^{2}$

標本分散。
平均偏差平方和。

$\displaystyle \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i-\overline x)^{2}}$

不偏標準偏差。
標本標準偏差の分母 $n$ を $n-1$ に置き換えた統計量。

$\displaystyle \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i-\overline x)^{2}$

不偏分散。
不偏標準偏差の平方。
標本分散の分母 $n$ を $n-1$ に置き換えた統計量。

$\displaystyle \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n} f(x_i)$

不偏標準偏差や不偏分散で現れる式。不偏性の定義から導出される。
特別な名前はない？

$\displaystyle E[X]$

確率変数 $X$ の期待値・平均。
$X$ が標本の確率変数なら標本平均。
$X$ が離散分布の確率変数なら $\sum p(x)x$ 。
$X$ が連続分布の確率変数なら $\int p(x)dx$ 。

$\displaystyle V[X]$

確率変数 $X$ の分散。
$E\left[(X-E[X])^{2}\right]$ 。
$X$ が標本の確率変数なら標本分散または不偏分散。
$X$ が離散分布の確率変数なら $E\left[(X-\sum p(x)x)^{2}\right]$ 。
$X$ が連続分布の確率変数なら $E\left[(X-\int p(x)dx)^{2}\right]$ 。